이 게시글은 K-mooc 고영채교수님의 이동통신공학 1을 수강한 내용을 바탕으로 작성하였음
Path
Wireless Channel Model
지난 강의에서는 fading의 종류를 Large, small로 분류하였다. Large scale fading은 Average power에 대한 channel model이며, small scale은 Instantaneous power에 대한 channel model이다.
각각에 대해 다시 짚고 넘어가면
- Path loss : distance에 따라 power가 얼마나 감쇠할 것인가
- Shadowing : 왜 distance가 같을때도 power 감쇠가 발생하는가
- Frequency flat fading : 한정된 BW 영역에 같은 영향을 미친다.
- Frequency flat fading : BW에 따라 다른 영향을 미친다.
- Coherence time : Channel에 따라 Power가 변하지 않는 time 구간
여기서는 Large scale fading중 Path loss에 대해서 알아본다. Path loss는 Tx와 Rx 간 distance에 따라 Received power가 얼마나 감쇠하는지에 대한 관계를 의미한다.
Path loss in General Case
앞선 강의에서는 Received power $P_r(d)=(\frac{\lambda_c}{4 \pi})^2 \frac{G_T G_T}{L_{rx}} \frac{P_t}{d^\beta}[W]$로 정의했었다. 여기서 $(\frac{\lambda_c}{4 \pi})^2 \frac{G_T G_R}{L_{rx}}=k$로 두면 $k \frac{P_t}{d^\beta}$를 얻는다.
Path loss exponent $\beta$는 Free space에서는 $\beta=2$로 정의되지만 실제 환경에서는 2~8의 값을 가질 수 있다.
Received Signal Power in Distance
- $G_T$ : Tx antenna의 gain
- : Rx antenna의 gain
- : Transmit power
- $L_{rx}$ : receiver에서 발생하는 loss (수신기의 modem에서 발생하는 loss)
- $\lambda_c$ : wave length
dB and dBm
watt, joule/sec는 실제 단위이지만 dB, dBm은 실제 단위가 아니다. dB, dBm은 어떤 ratio을 나타내기 위한 상대적인 값으로써 실제 unit은 존재하지 않는다.
예를 들어 input power $P_i$, output power $P_o$가 존재할 때 gain $G$는 다음과 같다.
$\frac{P_o}{P_i}=G$
이때 gain $G$는 단위가 아예 없다. $P_o[W]$, $P_i[W]$를 나눗셈 연산하면서 단위가 사라졌기 때문이다. 이때 단위가 없는 값 $G$에 log를 취하여 dB, dBm으로 나타낼 수 있다. 단위가 없는 값에 log를 취한다고 해서 단위가 생기는 것은 아니므로, 여전히 unitless이다.
Power in dB and dBm
Power를 dB단위로 나타낸다는 것은 $1[W]$에 비해서 해당 power가 얼마나 높은지를 나타낸다.
$P_{db}=10\log_{10}\frac{P}{1W}=10\log_{10}P[dB]$
Power $P$는 원래 $[W]$로 단위가 존재했었다. dB로 표현하기 위해서는 단위를 제거해야 하므로 $\frac{P}{1W}$로 단위를 없앤 후 $\log$를 취하여 dB로 표현할 수 있다.
Power의 단위를 없앨 때 $1W$로 나누어 $1W$에 비해 해당 power가 얼마나 큰지를 나타내며, 이것이 dB이다.
만약 $1mW$로 나눈다면 해당 power가 $1mW$에 비하여 상대적으로 얼마나 큰지를 나타내며, 그 값은 dBm이된다.
위에서 본 바와 같이 dB, dBm은 정의상 단위가 아니며 각각 $1W$, $1mW$에 대한 상대적 power값을 나타낸다. 하지만 실제로는 dB를 마치 단위인 것처럼 사용하고 있긴 하다.
(뒤에서 나오지만 혼동을 줄이기 위해 미리 쓰자면 어느 power의 dB 표현을 위해 $1W$로 해당 값을 나눠줬다면 그 결과는 $dBW$이다.)
Example
- 20 dBm을 $P[mW]$로 바꾸면 → $P[mW]=10^{\frac{P_{dBm}}{10}}$
- 3 dB를 $P[W]$로 바꾸면 → $10 \log_{10}2 = 3[dB]$ 이므로 $P=2[W]$
- $10 \log_{10} 10^n = 10n[dB]$
- $10 \log_{10} 2^n =10n \log_{10} 2 \simeq 3n [dB]$
열 잡음은 실험적, 이론적으로 모든 BW 영역에서 1Hz당 -174dBm의 power를 가지고 있다.
Sum of Decibels
위 식에서 $P_{r,dB}(d)$와 $P_{t,dB}$는 Power를 dB단위로 나타낸것이므로, Power임을 표시해주기 위해 dBW라는 단위를 사용한다. $10 \log_{10}k$와 $10 \beta \log_{10}d$는 power가 아니므로 그냥 dB이다.
dB는 unit이 없음에도 불구하고 Power라는 특수한 경우를 나타내기 위해 dBW라는 단위를 사용하는 것이다.
$dBW \pm dB = dBW$라는 것은, Power [dBW]에 다른 값 [dB]를 더하면 그 결과는 power [dBW]가 된다는 것이다.
$dBW - dBW = dB$ → log에서 $W$를 나눠줬으므로 $W$가 사라진다.
Remark
- Power는 dB, dBm으로 측정되는 것이 아니라, dB, dBm을 이용하여 표현하는 것이다. (dB는 단위가 아니라 표현 수단이다.)
- dBW는 이미 dB에 $W$라는 power단위를 포함하고 있다. 즉, dBW는 단위가 존재하므로 dBW에 dBW를 더할 수는 없다. → 세 개의 dBW를 더하면 $W^3$가 나온다.
- dBm역시 $mW$에서의 표현이므로 마찬가지다.
$mW$는 unit이 존재하기 때문에 서로 더할 수 있다. 하지만 $dBm$으로 변환한 후 그 둘을 더하면 log연산을 더하는 것이므로 전혀 다른 값이 도출된다. (mW에 log라는 비선형 연산을 거친 결과가 dBm이므로 mW에서의 덧셈이 dBm에서의 덧셈과 같을 수가 없다. dB와 dBW에서도 다 마찬가지임)
즉, $W$단위에서 합한 것은 dB단위에서 합한 것과 전혀 같지 않다.
$W$단위에서 합한 것이 dB단위에서 합한 것과 같지 않다는 것은 되게 당연하고 명백한 사실인데, 이것보다 중요한 것은 $dBW$나 $dBm$ 같은 경우에는 두 단위를 더하면 log에 의해 단위까지 제곱되기 때문에 그냥 덧셈 연산이 불가능하다는 것이다.
정리하면
- dB = 10log10(⋅)
- dBW = $10 \log_{10}\frac{\cdot}{1W}$
- dBm = $10 \log_{10}\frac{\cdot}{1mW}$
dB는 그냥 어떤 수에 log연산만 취했을 뿐이다. 따라서 dB값을 dB, dBW, dBm에 더하고 빼도 전혀 문제가 되지 않는다. 그저 log안에서 곱셈이 이루어지기 때문.
dBW과 dBm은 원본 값 (⋅)을 Watt단위로 한 번 나눈 후 log를 취한 것이다. 따라서 dBW 값 두 개를 더하면 분모에 Watt가 두 번 곱해져버린다. dBm도 마찬가지.
동일한 이유로 dBW과 dBm을 더하면 분모에 $W \times mW$가 생겨버린다. 단위가 제곱된다는 것
이렇듯 dBW과 dBm은 단위 안에 이미 W와 mW를 log 안에 포함하고 있기 때문에 dBW, dBm과 연산이 이루어질 수 없다. 연산을 위해서는 W, mW단위에서 연산을 마친 후 dBW으로 변환해야 한다.
실제 Path loss를 계산할 때 모든 지역, 상황에서의 path loss를 계산하는 것은 어렵다. 따라서 Transmit power $P_t$를 고정시켜놓고 특정 거리 $d_0$에서 power를 측정했을 때 $P_r$이 도출되었다면, 나머지 값 $10\log_{10}k - 10\beta\log_{10}(d_0)$에 의한 loss를 측정할 수 있다.
Two-Ray Path Loss Model
Signals with Path Loss
Channel에 bit를 전송할 때, 이 bit를 analog pulse $u(t)$에 실어서 전송해야 한다. 이 pulse는 RF영역에서 전송되어야 하므로 $\cos (2\pi f_c t)$를 통해 modulation을 거친다. 그 후 antenna gain $\sqrt{G_t}$이 곱해져 Rx로 전송된다.
Tx와 Rx가 $d$만큼 떨어져 있을 때 Electromagnetic wave는 빛의 속도 $c$로 전파되므로 Tx에서 Rx까지 signal이 도달하는데 걸리는 시간은 $\tau_0 = \frac{d}{c} = \frac{d}{f_c \lambda_c}$로 쓸 수 있다. $(c=f_c \lambda_c)$
Received power $P_r(d)$는 아래와 같다. (Received signal을 제곱한 꼴)
$P_r(d)=\bigg( \frac{\lambda_c}{4 \pi} \bigg)^2 \frac{G_T G_R}{L_{rx}} \frac{P_t}{d^\beta} [W]$
Received signal $r(t)$는 다음과 같이 나타난다.
$r(t)=\sqrt{\frac{G_T G_R}{L_{rx}}} \bigg( \frac{\lambda_c}{4 \pi d} \bigg) u(t-\tau_0) \cos(2\pi f_c(t-\frac{d}{f_c \lambda_c}))$
여기서 $\cos$항을 풀어쓰면 다음과 같다.
$\begin{align*} &\cos (2\pi f_c(t-\frac{d}{f_c\lambda_c})) \\ &=R [e^{j2 \pi f_c (t-\frac{d}{f_c \lambda_c)}}] \\&=R [e^{j 2 \pi f_c t} + e^{j 2 \pi f_c \times - \frac{d}{f_c \lambda_c}}] \end{align*}$
이를 $r(t)$에 대입하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
$r(t)=R \bigg[\frac{\lambda_c \sqrt{G_r G_t}e^{-j 2 \pi d \lambda_c}}{4 \pi d}u(t-\tau_0) e^{j 2 \pi f_c t} \bigg]$
이때 Transmit power와 Received power의 ratio $\frac{P_r}{P_t}$는 $r(t)$의 Amplitude를 제곱한 형태로 나타난다.
$\frac{P_r}{P_t}=\bigg[\frac{\sqrt{G_t G_r} \lambda_c}{4 \pi d} \bigg]^2$
Free-Space Path Loss Model
$P_{L, dB} = 10 \log_{10}\frac{P_t}{P_r} = -10 \log \frac{G_{tr} \lambda^2}{(4 \pi d)^2}, \quad G_{tr}=G_t G_r$
따라서 loss power $P_{L,dB}$는 $P_t[dB]$에서 $P_r[dB]$를 뺀 값으로 얻을 수 있다.
$P_{L,dB}=10\log_{10}P_t - 10\log_{10}P_r=P_t[dB]-P_r[dB]$
Two Ray Model
Free space가 아닌 경우 즉, 전파 경로상에 장애물이 존재하는 경우에 loss를 어떻게 구하는지 알아본다.
Tx antenna의 높이가 $h_b$이고 Rx antenna의 높이가 $h_m$일 때 signal을 전파하게 되면 LOS와 수 많은 Non LOS성분이 Rx에 도착하게 된다. 이때 LOS와 첫 번째 Non LOS에 대하여 분석해본다. (땅에 부딪힌 후 반사되어 Rx에 도착하는 경우라고 가정)
<LOS>
Tx antenna gain : $G_a$
Rx antenna gain : $G_b$
path : $l$
<1st Non LOS>
Tx antenna gain : $G_c$
Rx antenna gain : $G_d$
path : $x+x'$
1st Non LOS 성분이 지면과 이루는 각도 $\theta$
→ Signal이 안테나에서 전파, 수신되는 방향과 각도에 따라 얻어지는 antenna gain이 다르다
먼저 결론부터 보면, 위 모든 요소들을 고려했을 때 Received power $P_r$은 다음과 같이 나타난다.
$P_r \approx kP_t \bigg(\frac{h_b h_m}{d^2} \bigg)^2$
이 식에 따라 Received power는 Transmit power의 거리 네제곱 만큼 감소한다.
$P_r \sim P_t \cdot d^{-4}$
이처럼 LOS와 한 번 부딪혀서 오는 Non-LOS를 함께 고려하는 path loss를 two-ray path loss model이라고 부르는데 실제로 이 모델이 많은 경우에 상당히 정확하게 작동하므로, 이 모델을 자주 사용한다.
Non-LOS 성분이 땅에 부딪히면서 wave가 땅에 어느정도 흡수되는데, 이를 유전율 $\epsilon$을 이용하여 물리적으로 표현한다.
위에서 본 $r_{2-ray}(t)$식의 power부분만을 나타내면 위처럼 나타난다. 강의에서는 수식 전개를 생략하였지만 시간날 때 해보면 좋겠다.
$\Delta \phi = 2\pi(x+x'-l)\lambda$를 정의하기 위해 $x+x'-l$을 다시 써본다.
위 식에 의하여 최종적으로 Received power $P_r$은 다음처럼 얻어지며 Received power가 Transmit power에 $d^{-4}$의 비로 감소한다는 것을 알 수 있다.
어떤 Wireless system에 대한 modeling을 할 때 Transmit power와 Received power에 대한 관계를 path loss로 정의할 때 two-ray path loss를 사용하여 received power는 거리의 4제곱으로 감소한다고 말할 수 있다.
이때 modeling을 위해 고려해야 할 것은 Tx antenna와 Rx antenna의 높이이다. (둘 다 높이가 높을수록 Received power가 높다. 따라서 BS는 빌딩정도의 높이에 있어야 한다. 산에 있는 경우도 많다.)
Some other path loss mode
two-ray path loss model은 아주 간단하면서도 어느정도 정확한 path loss model이다. 실제 system에서는 도시환경을 직접 측정하여 path loss model을 정하는 방식으로 진행된다.
3G, 4G system의 표준화를 보면 path loss에 대한 규정이 이미 정해져있는데, 이들은 대부분 신호를 실제 전송하고 어떤 거리에서 power를 측정했을 때 나오는 실제 관측값을 기준으로 path loss 모델을 확률적으로 정의한다.
Cellular system 외에도 다양한 system에서 path loss를 정의하고 있으므로, 실제 사용되는 여러가지 path loss model에 대해서 공부해본다.
Empirical Path Loss Model
언급한 바와 같이 two-ray 모델 이외에도 공장, 도서관, 카페, 오피스 등에서 실제 측정을 바탕으로 만들어진 path loss model들이 존재한다.
- Okumura model
- Hata model
- Cost 231 Entension to Hata model (Hata model을 확장한 것)
- Piecewise linear (multi-slope) model
Okumura Model
Okumura model을 약간 설명해보면 다음과 같다.
Free space path loss $L_{FSL}(d)$에 attenuation 보정 값 $A_{\mu}$를 더하고, Rx antenna와 Tx antenna를 함수로 표현한 값 $G_m(h_m)$, $G_b(h_b)$를 고려해준다. 이에 더해 $K_{correction}$이라는 보정값 통신이 이루어지는 장소 (오피스, 빌딩 등)에 따라 한 번 더 추가한다.
Okumura model에서는 Mobile (Rx) antenna의 높이에 따른 이득 $G_m(h_m)$과 Base station (Tx) antenna의 높이에 따른 이득 $G_b(h_b)$를 위와 같이 정의한다.
Hata Model
Hata model을 Urban에서 사용하였을 때 Path loss는 위처럼 정의된다.
Suburban과 rural에서는 위처럼 다르게 정의된다.
Cost 231 Extensiotn to Hata Model
Hata model을 확장하여 유럽에서 사용하는 Cost model의 경우 Path loss model은 위처럼 정의된다.
Piecewise Linear (Multi-slope) Model
위에서 본 세가지 model은 empirical (실제로 측정하여 얻은) model이다. 반면 논문에서 사용하거나 혹은 simulation을 위해 사용하는 path loss도 존재하는데, 이것이 바로 Piecewise linear model이다.
이 model은 path loss의 지수값 $\beta$가 거리에 따라 달라진다. $d\leq d_1$일 때는 $\beta_1$을 갖고, $d\leq d_2$일 때는 $\beta_2$를 갖는 등, distance에 따라 $\beta$가 변한다.
Simplified Path Loss Model
가장 simplified 된 model은 다음처럼 구성된다. 상수 $K$가 antenna gain implementation loss 등을 전부 포함하고 있다. distance와 $\beta$에 의해 signal power가 얼마나 감쇠될지 결정된다.
Simplified model을 사용하는 경우 여러 장소에서 이미 측정된 loss exponent $\beta$를 적절하게 사용하여도 문제가 없다.
실제 통신에서 위 model들을 적용할 때는 먼저 empirical한 값들을 측정으로 얻어야하며, 그 값들을 여러 path loss model에 적용해본 후 실제 channel 상황에 가장 근접한 것을 채택한다.
Shadowing
Channel modeling을 할 때 path loss만을 고려한다면 Tx로부터 떨어진 거리가 같은 두 Rx의 Average power는 반드시 같아야 한다. 하지만 distance가 같은 Rx에서 received power는 서로 다르며, 그 차이는 $\epsilon_{dB}$로 표현한다.
또한, 그 difference $\epsilon$은 gaussian distribution을 따른다.
위는 Tx 기지국에서 떨어진 거리가 $d$로 같은 빨간 점들에서 power를 측정한 결과이다. (혹은 측정하지 않고 path loss모델에 의해 계산된 결과로도 Received power를 얻을 수 있다.)
위 상황은 path loss 식에 의해서 계산을 했을 때 Received power가 16 dBm이 도출된 상황이다.
이때 $\epsilon_{dB} \sim N(0, \sigma_s^2)$을 따르므로, difference의 평균값은 0이며, 각 power가 16dBm에서 떨어진 정도를 제곱하여 평균을 내면 $\epsilon_{dB}$의 분산인 $\sigma_s^2$를 얻는다.
배운 내용 정리
- Free space path loss : distance의 제곱에 따라 power가 감소한다.
- Two-ray model : 2개의 경로를 고려하며, distance의 4제곱에 따라 power가 감소한다. (Two-ray 유도식을 확장하여 three, four 혹은 더 높은 차수의 다중-ray model을 얻을 수 있다.)
- Shadowing : Tx로부터 같은 거리에 떨어져있는 Rx간 Received power가 일정하지 않다. 또한 그 차이를 $\epsilon$이라고 하는데, epsilon값은 $N(0, \sigma_s^2)$의 gaussian distribution을 따른다.
Received Signal Power in Shadowing
Shadowing을 고려하는 경우 위처럼 path loss만 고려한 식에 shadowing factor $\epsilon$이 추가로 곱해진다. 따라서 Received power $P_{r,dBm}$은 다음과 같이 나타난다.
$P_{r,dBm}=P_{t,dBm}+10 \log_{10}k-10\beta \log_{10} d+10 \log_{10} \epsilon$
이때 $\epsilon_{dB}=10\log_{10} \epsilon \sim N(0, \sigma_s^2)$로 정의되어, shadowing factor는 mean=0, variance= $\sigma_s^2$인 gaussian distribution을 따른다.
$\sigma_s$ : shadow standard deviation은 실제 측정에 따르면 약 5~12dB 범위의 값을 가진다. 즉, 표준편차가 5~12dB인 distribution에서 random하게 정해지는 값 $\epsilon$가 path loss에 더해지는 것이므로 상당히 큰 영향을 미친다고 할 수 있다.
→ Tx로부터의 거리가 같은 여러 Rx에서 Received power가 5~12dB 차이가 날 수 있다는 것이다.
즉, Tx로부터 거리가 같은 곳에서도 Received average power가 다른 현상 Shadowing은 Random variable로 modeling된다. 그 RV $\epsilon$는 dB단위로 표현하였을 때 0의 mean과 $\sigma_s^2$의 variance을 가지는 Gaussian distribution을 따른다.
Area Mean, Local Mean, and Shadowing
예를 들어 위 같은 환경이 있다고 가정하자. 이때 각 Rx는 $P_{r,dBm}$에 $\epsilon_{dB}$가 추가되어 17.4897dBm, 15.8759dBm등의 값을 갖게 된다. 이때 $\epsilon_{dB}$는 평균이 0이므로, 각 Rx에서의 Received power를 평균내면 $P_{r,dBm}=16$을 얻는다.
이때 $P_{r,dBm}=16$는 path loss만 고려한 Received power이다.
Area mean : path loss만 고려해서 계산한 Average power
Local mean : path loss에 shadowing factor를 더한 최종 loss
→ Local mean은 Large scale fading을 전부 고려한 Received power이다.
Probability Density Function of Local Mean
Path loss와 Shadowing을 모두 고려한 Received signal $P_{r,dBm}(d)$는 path loss term $\mu_{r,dBm}(d)$과 shadowing term $\epsilon_{dB}$을 더하여 정의된다.
이때 $\mu_{r,dBm}(d)$는 constant이고 $\epsilon_{dB} \sim N(0, \sigma_s^2)$이므로
$P_{r,dBm}(d) \sim N(\mu_{dBm}(d), \sigma_s^2)$이다.
PDF of Local Mean in Linear Scale
Gaussian distribution에 상수 덧셈, 적분, 미분 등의 linear operation을 취해도 gaussian distribution은 변하지 않는다. 하지만 non-linear operation을 취하는 경우에는 Gaussian의 특성이 바뀌게 된다.
Path loss에 shadowing을 고려한 local mean은 dBm 단위에서 gaussian 분포를 따르는데, dBm을 watt단위로 변형시키기 위해서는 $X=10^{\frac{X_{dBm}}{10}}$을 수행해야 한다.
dBm 단위에서 $P_{r,dBm}(d)$의 분포가 $f_{X,dBm}(x)$일 때 Watt 단위의 PDF $f_X(x)$는 다음과 같이 얻을 수 있다.
이때 $\frac{dx}{dx_{dBm}}=\frac{d}{dx}(10^{\frac{X_{dBm}}{10}})$ 이다.
그 결과로 얻어진 Watt단위의 PDF는 위 그림에서의 식과 같다.
4G LTE Path Loss Model
실제 4G-LTE에서 사용되는 Path loss는 위와 같다. Outdoor to indoor과 Outdoor to outdoor에서 서로 다르게 정의되는 것을 확인할 수 있다.
Shadowing standard deviation은 상당히 큰 값 10으로 설정되어 있다. 즉, 대략 70% 확률로 local mean 값이 평균으로부터 10dB 차이날 수 있으며, 20% 확률로 20dB 차이날 수 있다는 것을 의미한다.
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